Question

Найти экстремумы функции двух переменных z(x; y)

z = x^2 y - 2xy - 3x^2 - y^2 + 6x - 9y

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z = x²y - 2xy - 3x² - y² + 6x - 9y

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta x} = 2xy-2y-6x+6$

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta y} = x^2-2x-2y-9$

теперь решаем систему

$\displaystyle \left \{ {{2xy-6x-2y+6 = 0} \atop {x^2-2x-2y-9 = 0 \hfill }} \right.$

из второго уравнения выражаем у и подставляем в первое уравнение

у = х²/2 - х - 9/2

2x(х²/2 - х - 9/2) -6x -2(х²/2 - х - 9/2) +6 =0

x³ -3x² -13x +15 =0 ⇒x₁= -3; y₁=3;   x₂=1; y₂= -5;     x₃=5; y₃=3

мы получили три критические точки

M₁(1;-5), M₂(-3;3), M₃(5;3)

но пока не знаем, кто из них минимум, кто максимум

поэтому ищем частные производные второго порядка

$\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x \delta y} =2x-2$         $\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x^2 } =2y-6$          $\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta y^2 } =-2$

теперь будем считать значение вторых производных в кажной точке

M₁(1;-5)

$A=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x^2 }_{(1;-5)} =-16; \quad C=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta y^2 }_{(1;-5)} =-2; \quad B=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x \delta y}_{(1;-5)} =0$

AC - B² = 32 > 0 и A < 0 , то в точке M₁(1;-5)  максимум z(1;-5) = 28

M₂(-3;3)

$A=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x^2 }_{(-3;3)} =0; \quad C=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta y^2 }_{(-3;3)} =-2; \quad B=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x \delta y}_{(-3;-3)} =-8$

AC - B² = -64 < 0, то в точке M₂(-3;3) глобального экстремума нет.

M₃(5;3)

$A=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x^2 }_{(5;3)} =0; \quad C=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta y^2 }_{(5;3)} =-2; \quad B=\displaystyle \frac{\delta^2 z}{\delta x \delta y}_{(5;-3)} =8$

AC - B² = -64 < 0, то точке M₂(5;3) глобального экстремума нет.

ответ

функция имеет один экстремум

в точке M₁(1;-5) и это  максимум z(1;-5) = 28;