Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 7cos^2альфа-5sin^2альфа

Answer 1

Ответ:

7- наибольшее значение, а -5 -наименьшее значение.

Объяснение:

$7cos^{2} \alpha -5sin^{2} \alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством  и преобразуем данное выражение.

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;\\sin^{2} \alpha =1-cos^{2} \alpha .$

$7cos^{2} \alpha -5sin^{2} \alpha=7cos^{2} \alpha -5(1-cos^{2} \alpha)=7cos^{2} \alpha -5+5cos^{2} \alpha=\\\\12cos^{2}\alpha -5$

Применим формулу понижения степени и получим:

$cos^{2} \alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2}$

$12\cdot \dfrac{1+cos2\alpha }{2}-5=6+6cos2\alpha -5=6cos2\alpha +1.$

Оценим полученное выражение.

Так как $-1\leq cos\alpha \leq 1$

$-1\leq cos2\alpha \leq 1;\\-6\leq6 cos2\alpha \leq 6;\\-6+1\leq6 cos2\alpha+1 \leq 6+1;\\\\-5\leq6 cos2\alpha+1 \leq 7;$

Тогда наибольшее значение равно 7, а наименьшее -5