Question

Срочно! Докажите, что для любых множеств A, B, C
(A∩B)∪C=(А∪С)∩(В∪С);

Answer 1

Поучительным подходом будет использование характеристической функции.

Характеристическая функция множества $\mathcal{S}$ берет на вход некоторый элемент (универсального множества) и возвращает 1, если этот элемент принадлежит $\mathcal{S}$, и 0 в противном случае.

Иными словами, $\chi_{_{\mathcal{S}}}(u)=\left \{ {{1,\; u\in \mathcal{S}} \atop {0,\; u\notin \mathcal{S}}} \right.$.

Исходя из этого, $\chi_{_{M\cap N}}=\chi_{_{M}}\cdot\chi_{_{N}}$. Понятно, что $\chi_{_{\overline{ M}}}= 1-\chi_{_{M}}$, поэтому $\chi_{_{M\cup N}}= 1-\chi_{_{\overline{M}\cap \overline{N}}} = 1-(1-\chi_{_{M}})(1-\chi_{_{N}}) = \chi_{_{M}}+\chi_{_{N}} - \chi_{_{M}}\chi_{_{N}}$ (первый переход опирается на правило де Моргана).

Возьмем характеристическую функцию от двух частей равенства. Слева:   $\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}\chi_{_{C}}$. Справа: $(\chi_{_{A}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{C}})(\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{B}}\chi_{_{C}})=\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}+\chi_{_{C}}-\chi_{_{A}}\chi_{_{B}}\chi_{_{C}}$ (убедитесь сами: понятно, что $\chi_{_{C}}^2 = \chi_{_{C}}$), что и доказывает требуемое.