Предмет: Математика, автор: vetafreelance

Решить дифференциальное уравнение


Очень нужно фото с решением, помогите пожалуйста!

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
1

Пошаговое объяснение:

Это уравнение Бернулли

Разделим на у^2.

 \frac{y'}{ {y}^{2} }  +  \frac{1}{xy}  =  ln(x)  \\

замена:

 \frac{1}{y}  = z \\ z' =  -  {y}^{ - 2}  \times y'=  -  \frac{y'}{ {y}^{2} }  \\   \frac{y'}{ {y}^{2} }  =  - z'

 - z' +  \frac{z}{x}  =  ln(x)  \\ z' -  \frac{z}{x}  =  -  ln(x)

- линейное ДУ

замена:

z = uv \\ z = u'v + v'u

u'v + v'u -  \frac{uv}{x}  =   - ln(x)  \\ u'v + u(v' -  \frac{v}{x} ) =  -  ln(x)  \\  \\ 1)v' -  \frac{v}{x}  = 0 \\  \frac{dv}{dx}  =  \frac{v}{x}  \\ \int\limits \frac{dv}{v}  = \int\limits \frac{dx}{x}  \\  ln(v)  =   ln(x)  \\ v = x \\  \\ 2)u'v =  -   ln(x)  \\  \frac{du}{dx} x =  -  ln(x)  \\ \int\limits \: du =  - \int\limits \: x ln(x) dx

решим отдельно интеграл:

\int\limits \: x ln(x) dx

по частям:

u =  ln(x)  \:  \:  \: \:  \:  \:  \:  du =  \frac{1}{x} dx \\ dv = xdx \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: v =  \frac{ {x}^{2} }{2}

 \frac{ {x}^{2} }{2}  ln(x)  - \int\limits \frac{ {x}^{2} }{2}  \times  \frac{dx}{x}  =  \\  =  \frac{ {x}^{2} }{2}  ln(x)  -  \frac{ {x}^{2} }{4}  + C=  \\  =  \frac{ {x}^{2} }{2} ( ln(x)  -  \frac{1}{2} ) + C

получаем:

u =  -  \frac{ {x}^{2} }{2} ( ln(x)  -  \frac{1}{2} ) + C\\

z = uv = x \times (( -  \frac{1}{ {x}^{2} } )( ln(x)  -  \frac{1}{2} ) + C) =  \\  =  -  \frac{1}{x} ( ln(x)  -  \frac{1}{2} ) + Cx \\  \\  \frac{1}{y}  = Cx -  \frac{1}{x} ( ln(x)  -  \frac{1}{2})

общее решение

Похожие вопросы