Question

Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює b і нахилене до площини основи під кутом (альфа) . Знайдіть площу поверхні сфери , описаної навколо даної піраміди.

Answer 1

Ответ:

Площадь описанной сферы:

$\boldsymbol{S=\dfrac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}}$

Объяснение:

В правильной треугольной пирамиде основание - правильный треугольник, боковые ребра равны.

Центр сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, лежит на высоте или ее продолжении.

SH - высота пирамиды, О - центр описанной сферы.

SO = R - радиус описанной сферы.

АН - проекция SA на плоскость основания, значит ∠SAH = α.

ΔASH:  ∠AHS = 90°

 SH = SA · sin α = b · sin α

Проведем ОК - серединный перпендикуляр к ребру SA.

ΔASH ~ ΔOSK по двум углам:

• ∠AHS = ∠OKS = 90°,
• угол при вершине S общий.

$\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SO}{SA}$

$\dfrac{\dfrac{b}{2}}{b\cdot \sin \alpha}=\dfrac{R}{b}$

$\dfrac{1}{2\sin\alpha}=\dfrac{R}{b}$

$R=\dfrac{b}{2\sin\alpha }$

Площадь сферы:

S = 4πR²

$S=4\pi \cdot \dfrac{b^2}{4\sin^2\alpha}$

$\boldsymbol{S=\dfrac{\pi b^2}{\sin^2\alpha}}$