Предмет: Алгебра, автор: SofiaGolovina17

Помогите пожалуйста даю вам 30 баллов

Приложения:

Ответы

Автор ответа: NNNLLL54
1

Ответ:

Если х=7  - корень многочлена  x^4+ax^3-40x^2-107x-35  ,  то должно выполняться равенство   7^4+a\cdot 7^3-40\cdot 7^2-107\cdot 7-35=0  .  

Тогда   2401+343a-1960-749-35=0\ \ \Rightarrow \ \ \ 343a-343=0\ \ ,\ \ a=1  .

Следовательно можно разделить многочлен  x^4+x^3-40x^2-107x-35  

нацело на разность   (x-7)  . Получим

x^4+x^3-40x^2-107x-35=(x-7)(x^3+8x^2+16x+5)  .

А теперь на основании указанной теоремы корнем многочлена, стоящего во второй скобке, будут делители числа 5, то есть числа \pm 1\ ,\ \pm 5\ .  Проверим число  -5 .

(-5)^3+8\cdot (-5)^2+16\cdot (-5)+5=-125+200-80+5=0

Значит х= -5  -  корень многочлена  x^3+8x^2+16x+5  . И поэтому этот многочлен нацело разделится на  двучлен  x-(-5)=x+5  .

x^3+8x^2+16x+5=(x+5)(x^2+3x+1)

Теперь осталось найти корни квадратного трёхчлена  x^2+3x+1  .

D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5\ \ ,\ \ x_1=\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}

Итак, получили

x^4+x^3-40x^2-107x-35=\Big(x-7\Big)\Big(x+5\Big)\Big(x-\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\Big)\Big(x-\dfrac{-3+\sqrt5}{2}\Big)

Сумма корней заданного многочлена равна

7-5+\dfrac{-3-\sqrt5}{2}+\dfrac{-3+\sqrt5}{2}=2+\dfrac{-6}{2}=2-3=-1

 P.S.  Если учили теорему Виета для уравнения 4 степени, то сумма корней уравнения  a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0   равна  -\dfrac{a_3}{a_4}  .  В заданном многочлене  a_3=a=1  ,  a_4=1  ,  поэтому  -\dfrac{a_3}{a_4}=-1   ,что соответствует найденному ранее значению .

Похожие вопросы
Предмет: Алгебра, автор: Викторина888