Question

Здравствуйте помогите пожалуста с решением примера. Самому никак не получается решить. Заранее спасибо за помощь!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

перепишем 2х+1 как 2х-3+4, тогда получим два интеграла

$\displaystyle \int {\frac{2x-3}{\sqrt{-x^+3x+4} } } \, dx +\int {\frac{4}{\sqrt{-x^+3x+4}} } \, dx$

теперь в первом интеграле можем заметить, что числитель есть производная от знаменателя только со знаком минус. заменим (-х² +3х+4) = u, тогда du=-(2x-3)dx

и вот первый интеграл превратится в табличный

$\displaystyle \int {\frac{2x-3}{\sqrt{-x^+3x+4} } } \, dx=-\int {\frac{1}{\sqrt{u} } } \, du =-2u+C = -2\sqrt{-x^2+3x+4} +C$

теперь разберемся со вторым интегралом. у него выделим в знаменателе полные квдраты и получим тоже табличный интеграл

$\displaystyle 4\int {\frac{1}{\sqrt{-x^+3x+4}} } \, dx= 4\int {\frac{1}{\sqrt{(\frac{5}{2} )^2-(3-\frac{3}{2})^2 } } } \, dx$

это интеграл вида

$\int {\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2} } } \, dx = arcsin(\frac{x}{a}) +C$

и тогда наш второй интеграл

$\displaystyle 4\int {\frac{1}{\sqrt{(\frac{5}{2} )^2-(3-\frac{3}{2})^2 } } } \, dx = 4arcsin(\frac{2x}{5} -\frac{3}{5} )+C$

теперь получим результат

$\displaystyle \int {\frac{2x+1}{\sqrt{4+3x-x^2} } } \, dx = -2\sqrt{4+3x-x^2} + \displaystyle 4arcsin(\frac{2x}{5} -\frac{3}{5} )+C_1$