Question

Доказать признак подобия​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Доказательство первого признака подобия через данные треугольники: Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1, у которых А1В1 = 2AB, А1С1 = 2АС и ∠А = ∠А1.

Чтобы доказать подобие данных треугольников, требуется доказать, что А1С1 = 2AC, так как подобие треугольников определяется по трем пропорциональным сторонам. Найдем стороны AC и А1С1 по теореме косинусов:

AC2 = AB2 + BC2 – 2 · AB · BC · cos А

А1С12 =А1В12 + В1С12 – 2 · А1В1 · В1С1 · cos А1

Так как ∠А1 = ∠А и AB = 2А1В1, BC = 2В1С1, то мы можем выразить квадрат стороны АС через угол и стороны треугольника ABC:

А1С1^2 = (2AB)^2 + (2BC)^2 – 2 · 2AB · 2BC · cos А

Вынесем 2 за скобку:

А1С1^2= 2(AB^2 + BC^2 – 2 · AB · BC · cos B)

Выражение в скобках равно ранее выраженному через теорему косинусов квадрату стороны AC. Поэтому можно записать так:

А1С1^2 = 2AC^2

Отсюда получаем, что А1С1 = 2AC, что и требовалось доказать. Таким образом, если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами каждого треугольника равны, то оказываются соответственно пропорциональными и третьи их стороны, а, следовательно, такие треугольника подобны.