Предмет: Алгебра, автор: istepanov500

Почему косинус это абсцисса, а синус - ордината?Как это можно объяснить максимально понятно?

Ответы

Автор ответа: Аноним
2

Построим единичную окружность от начала координат, то есть радиус будет равен единице, и любой радиус-вектор соответственно. Построим треугольник, такой, что его гипотенуза - радиус. один из катетов лежит на оси абсцисс, а другой параллелен оси ординат. Тогда длина противолежащего катета равна координате y точки окружности, находящейся на радиусе, а длина прилежащего - координате x . Угол между гипотенузой и осью абсцисс обозначим за α. Как известно, синусом называется отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинусом называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Как уже было сказано, противолежащий катет равен y, а прилежащий равен x. Тогда sinα = y/1 (гипотенуза равна единице) = y, а cosα = x/1 = x. чтд

Очевидно, что если радиус - любое число, кроме единицы - равенства не будет.

Другой способ, менее правильный. Известная формула расстояния между двумя точками:

d = \sqrt{(x_{1} -  x_{2})^2 + (y_{1} - y_{2})^2}

где x1, y1 - соответствующие координаты первой точки, x2,y2 - координаты второй точки.

На самом деле, это всего лишь теорема Пифагора, здесь d - гипотенуза прямоугольного треугольника, а если вычесть из кооординаты начала (x1 или y1) координату конца (x2 или y2), получится длина катета. Квадрат суммы длин катетов равен квадрату длины гипотенузы. Это работает для любых двух точек. Но синус и косинус равны координатам точки только на единичной окружности.

Если одна из точек будет лежать на краю окружности, а вторая будет началом координат, то x2 = y2 = 0, и тогда формула будет иметь другой вид:

d = \sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}

Нетрудно догадаться, что расстояние от центра окружности до ее края называется радиусом. В данном случае радиус равен 1, поэтому:

1 = \sqrt{(x_{1})^2 + (y_{1})^2}

Это уравнение можно возвести в квадрат, так как обе его части неотрицательны:

1 = (x_{1})^2 + (y_{1})^2

Здесь, очевидно, спряталось основное тригонометрическое тождество. 1 = (sin\alpha)^2 + (cos\alpha)^2

То есть sinα = x, cosα = y.

Один момент - от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Дело в том, что если поменять синус и косинус местами (то есть sinα = y, cosα = x), то α будет углом не между осью x и гипотенузой, а между осью y и гипотенузой. Пусть он равен β. В сумме с α он дает 90 градусов:

α + β = 90, откуда α = 90 - β.

Здесь применяется формула приведения:

cos(90 - β) = sinβ

sin(90 - β) = cosβ

чтд


istepanov500: Можно один вопрос, мы получили, что синус - ордината, так как за угол приняли угол между гипотенузой и осью Х, тогда безусловно, синусом будет ордината. Но, что если взять угол между осью У и гипотенузой, тогда синусом будет противолежащий катет, то есть ось Х. Разве не так?
istepanov500: Наконец-то все понятно, нигде не мог найти правильный ответ. Спасибо вам большое. А откуда вы это знаете))?
Похожие вопросы
Предмет: Физика, автор: АНГЕЛИНА200611