Question

Найти неопределённый интеграл. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.
20 вариант на фото: г); д)

Answer 1

$20.4)\ \ \int (10x-1)\, sin2x\, dx=\Big[\ u=10x-1\ ,\ du=10\, dx\ ,\ dv=sin2x\, dx\ ,\\\\v=-\dfrac{1}{2}\, cos2x\ \Big]=uv-\int v\, du=\\\\\\=-\dfrac{1}{2}\cdot (10x-1)\cdot cos2x+\dfrac{10}{2}\int cos2x\, dx=-\dfrac{1}{2}\cdot (10x-1)\cdot cos2x+\dfrac{5}{2}\, sin2x+C$

$20.5)\ \ \int \dfrac{3x^2+20x+9}{(x^2+4x+3)(x+5)}\, dx=\int \dfrac{3x^2+20x+9}{(x+1)(x+3)(x+5)}\, dx=I\\\\\\ \dfrac{3x^2+20x+9}{(x+1)(x+3)(x+5)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{C}{x+5}\\\\\\3x^2+20x+9=A(x+3)(x+5)+B(x+1)(x+5)+C(x+1)(x+3)\\\\x=-1:\ \ A=\dfrac{3x^2+20x+9}{(x+3)(x+5)}=\dfrac{3-20+9}{2\cdot 4}=-1\\\\x=-3:\ \ B=\dfrac{3x^2+20x+9}{(x+1)(x+5)}=\dfrac{27-60+9}{-2\cdot 2}=6\\\\x=-5:\ \ C=\dfrac{3x^2+20x+9}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{75-100+9}{-4\cdot (-2)}=-2$

$I=\int \dfrac{-dx}{x+1}+\int \dfrac{6}{x+3}+\int \dfrac{-2\, dx}{x+5}=\\\\\\=-ln|x+1|+6\, ln|x+3|-2\, ln|x+5|+lnC=ln\dfrac{C\cdot (x+3)^6}{|x+1|\cdot (x+5)^2}$