Question

Сторона правильного n-кутника дорівнює 4√3. Знайдіть радіус кола, описаного навколо нього, якщо:
а)n = 3; б)n = 4; в)n = 6; г)n = 12

Answer 1

Ответ:

Перевод: Сторона правильного n-угольника равна 4$\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг него, если:

а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 12.

Решение. Формула радиуса R описанной окружности вокруг правильного n-угольника со стороной a имеет вид:

$\displaystyle \tt R(n)=\dfrac{a}{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{n} } .$

Тогда

а) n = 3:

$\displaystyle \tt R(3)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{3} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin60^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} }=4.$

б) n = 4:

$\displaystyle \tt R(4)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{4} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin45^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{2} }=\dfrac{4\sqrt{3} }{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}.$

в) n = 6:

$\displaystyle \tt R(6)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{6} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin30^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{1}{2} }=\dfrac{4\sqrt{3} }{1}=4\sqrt{3}.$

г) n = 12:

$\displaystyle \tt R(12)=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin\dfrac{180^0}{12} } =\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot sin15^0}= \dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1-cos30^0}{2} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3} }{2} }{2} } }=\\\\=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{2-\sqrt{3} }{2} }{2} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{2 \cdot \sqrt{\dfrac{2-\sqrt{3} }{4} } } } =\dfrac{4\sqrt{3} }{\dfrac{2}{2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3} } }=\dfrac{4\sqrt{3} }{\sqrt{2-\sqrt{3} } }=$

$\displaystyle \tt =\dfrac{4 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3} } }{\sqrt{2-\sqrt{3} } \cdot \sqrt{2+\sqrt{3} } }=\dfrac{4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} } }{\sqrt{4-3} }=\dfrac{4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} } }{\sqrt{1} }=4 \cdot \sqrt{6+3\sqrt{3} }.$