Question

Найдите все частные производные первого и второго порядков для функции z(x;y).
Пример:
z=sin y/x - x^2 y^3 + 2x + y + 12
С поясняем пожалуйста!!!(очень срочно!!!)

Answer 1

Частная производная по $x$ находится в предположении, что переменная   $y=const$  .  И наоборот, частная производная по $y$ находится в предположении, что переменная   $x=const$  .

$z=sin\dfrac{y}{x}-x^2y^3+2x+y+12\\\\\\z'_{x}=cos\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{-y}{x^2}-2xy^3+2=-\dfrac{y}{x^2}\cdot cos\dfrac{y}{x}-2xy^3+2\\\\\\z''_{xx}=\dfrac{y\cdot 2x}{x^4}\cdot cos\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{x^2}\cdot sin\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{-y}{x^2}-2y^3=\dfrac{2y}{x^3}\cdot cos\dfrac{y}{x}-\dfrac{y^2}{x^4}\cdot sin\dfrac{y}{x}-2y^3$

$z''_{xy}=-\dfrac{1}{x^2}\cdot cos\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{x^2}\cdot sin\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{1}{x}-6xy^2=-\dfrac{1}{x^2}\cdot cos\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{x^3}\cdot sin\dfrac{y}{x}-6xy^2\\\\\\z'_{y}=cos\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{1}{x}-3x^2y^2=\dfrac{1}{x}\cdot cos\dfrac{y}{x}-3x^2y^2\\\\\\z''_{yy}=-\dfrac{1}{x}\cdot sin\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{1}{x}-6x^2y=-\dfrac{1}{x^2}\cdot sin\dfrac{y}{x}-6x^2y$