Question

Встановити, що рівняння визначає гіперболу, знайти її центр, півосі.
16x^2-9y^2-64x-54y-161=0

Answer 1

Дано уравнение 16x²-9y²-64x-54y-161=0.

Выделяем полные квадраты переменных:

16(x²-2·2x+ 2²) -16·2² = 16(x-2)²-64

-9(y²+2·3y + 3²) +9·3² = -9(y+3)²+81

В итоге получаем:

16(x-2)²-9(y+3)² = 144

Разделим все выражение на 144

((x-2)²/9) - ((y+3)²/16) = 1.

Параметры кривой.

Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:

C(2; -3)  и полуосями:

a = 3 (действительная полуось); b = 4 (мнимая полуось)

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами. F1 = (-3; -3) и F2 = (7; -3).

Определим параметр c: c² = a² + b² = 9 + 16 = 25.

c = 5.

Тогда эксцентриситет будет равен:  е = 5/3.

Асимптотами гиперболы будут прямые:  у = +-(4/3)(х - 2) - 3.

Директрисами гиперболы будут прямые:  х = +-(9/5) - 2.