Докажите, что если сумма квадратоа двух целых чисел делится на 7, то эта сумма делиться на 49
Ответы
дано a²+b² кратно 7
докажем что а кратно 7 и b кратно 7
Пусть эти числа не делятся на 7
тогда число а можно представить как
a=7n+1 или а=7n+2 или a=7n+3 или .... или a=7n+6
если возвести число а в квадрат то получим
a²=49n²+14n+1 или a²=49n²+24n+4 или .... a²=49n²+84n+36
аналогично для числа b
если сложить квадраты наших чисел то остатки будут получатся
например: (7n+1)²+(7n+1)²=2*(49n²+14n+1)=2*49n²+2*14n+2
остаток 2 которые не кратен 7, а значит сумма квадратов не будет делится на 7
если проверить все остатки, то мы убедимся что сумма квадратов чисел не кратных 7 не будет кратна 7, а значит наше предположение неверно
ТОГДА а кратно 7 и записать можно а=7n
b кратно 7 и записать можно b=7m
и теперь найдем сумму их квадратов
(7n)²+(7m)²=49n²+49m²=49(m+n)
и полученная сумма кратна 49
доказано.