Предмет: Алгебра, автор: znanija22228

Логарифм. Реши уравнениe, используя метод подстановки.(с ОДЗ) пошагово

lg²x-3lgx=lgx²-4

Ответы

Автор ответа: Veronika724
1

\lg^2x - 3\lg x = \lg x^2-4

Найдём ОДЗ. \lg - это логарифм по основанию 10, поэтому на основание никаких ограничений не накладывается. Аргумент логарифма должен быть положительным, учитываем это условие для каждого логарифма.

\begin{equation*}\begin{cases}x>0\\x > 0\\x^2 > 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x > 0\\x > 0\\x \neq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x\in(0;+\infty)}}

По свойству логарифма:  \log_ab^c = c\log_ab .

\lg^2x - 3\lg x = 2\lg x - 4\\\\\lg^2x - \underline{3\lg x} - \underline{2\lg x} + 4 = 0\\\\\lg^2x - 5\lg x + 4 = 0

Введём замену:  t = \lg x,\ t\in\mathbb{R} .

t^2 - 5t + 4 = 0

По теореме Виета:

\begin{equation*}\begin{cases}t_1t_2 = 4\\t_1 + t_2 = 5\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| t = 4; t = 1

Обратная замена:

\left[\begin{gathered}\lg x = 4\\\lg x = 1\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 10^4\\x = 10^1\end{gathered}\ \ \ \Leftrightarrow\ \left[\begin{gathered}x = 10000\\x = 10\end{gathered}

Оба корня входят в найденную нами ранее ОДЗ, а значит, оба являются решениями уравнения.

Ответ: 10; 10000.

Похожие вопросы