Question

Прошу помогите с алгеброй
первое задание слева
второе задание справа

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ D:\ \{\ y\geq x\ ,\ y\leq 2x\ ,\ y\leq 2\ \}\\\\\iint \limits _{D}\, x\, dx\, dy=\int\limits^2_0dy\int\limits^{y/2}_{y}\,x\, dx=\int\limits^2_0\Big(\dfrac{x^2}{2}\Big)\, \Big|_{y}^{y/2}\, dy=\int\limits^2_0\Big(\dfrac{y^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}\Big)\, dy=\\\\\\=\int\limits^2_0\Big(-\dfrac{3y^2}{8}\Big)\, dy=-\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{y^3}{3}\Big|_0^2=-\dfrac{1}{8}\cdot 8=-1$

$2)\ \ \gamma (x,y)=x+y^2\ \ ,\ \ D:\{\ y\leq 1-x\ ,\ x\geq 0\ ,\ y\geq 0\ \}\\\\m=\iint \limits _{D}\gamma\ (x,y)\, dx\, dy=\iint \limits _{D}\, (x+y^2)\, dx\, dy=\int\limits_0^1\, dx\int\limits^{x}_0\, (x+y^2)dy=\\\\\\=\int\limits_0^1\, \Big(xy+\dfrac{y^3}{3}\Big)\Big|_0^{x}\, dx=\int\limits_0^1\, \Big(x^2+\dfrac{x^3}{3}\Big)\, dx=\Big(\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{12}\Big)\Big|_0^1=\\\\\\=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{12}$