Question

основа прямої призми - ромб зі стороною 8 см і кутом 60° менша діагональ призми дорівнює 17 см знайдіть об'єм призми​

Answer 1

Ответ:

$480\sqrt{3}$ см³.

Объяснение:

Пусть дана прямая призма $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$.

ABCD- ромб.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

$V=S\cdot H$

Площадь основания, площадь ромба найдем по формуле:

$S= a^{2} \cdot sin\alpha ,$    где a- сторона ромба, а α - угол ромба.

Значит,

$S= 8^{2} \cdot sin60^{0} =64\cdot \dfrac{\sqrt{3} }{2} =\dfrac{64\cdot \sqrt{3} }{2}=32\sqrt{3}$  см².

Найдем высоту ромба. Для этого найдем диагональ ромба  BD.

Рассмотрим Δ АBD - равнобедренный, так как АВ= АD. Если ∠А=60°, то Δ АBD- равносторонний.

Тогда BD=8 см.

Рассмотрим Δ $D_{1} DB$ - прямоугольный. Найдем катет$D_{1} D$ по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BD_{1} ^{2} = BD^{2} +DD_{1}^{2}; \\\\D_{1} D^{2} =BD_{1} ^{2}- BD^{2} ;\\\\D_{1} D=\sqrt{BD_{1} ^{2}- BD^{2} } ;\\\\D_{1} D=\sqrt{17^{2} -8^{2} } =\sqrt{(17-8)(17+8)} =\sqrt{9\cdot 25} =3\cdot5=15$

Значит, высота призмы равна 15 см.

Тогда объем призмы будет:

$V= 32\sqrt{3} \cdot 15=480\sqrt{3}$ см³.

$\displaystyle \begin{array}{r}\underline{\times\begin{array}{r}32 \\ 15\end{array}} \\ \underline{+\begin{array}{r}160 \\ 32~\;\end{array} } \\ 480 \hspace{6pt} \end{array}$