Question

Вычислите интеграл
$\int\limits{\frac{x+2}{\sqrt{x^2-6x+8} } } \, dx$

Answer 1

Ответ:

$( {x}^{2} - 6x + 8)' = 2x - 6$

делаем производную знаменателя в числителе

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{2x + 4}{ \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8} } = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x - 6 + 10}{ \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8} } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x - 6}{ \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8} } dx + \frac{10}{2} \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8} } = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} - 6x + 8) }{ {( {x}^{2} - 6x + 8)}^{ \frac{1}{2} } } + 5 \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 9 - 1} } = \\ = \frac{1}{2} \times \frac{ {( {x}^{2} - 6x + 8) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + 5 \int\limits \frac{d(x - 3)}{ \sqrt{ {(x - 3)}^{2} - {1}^{2} } } = \\ = \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8} + 5 ln(x - 3 + \sqrt{ {x}^{2} - 6x + 8 } ) + C$