Question

Вычислите интеграл
$\int\limits {\frac{2^x}{\sqrt{1-4^x} } } \, dx$

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ {2}^{x} }{ \sqrt{1 - {4}^{x} } } dx$

замена:

${2}^{x} = t \\ {2}^{x} \times ln(2) dx = dt \\ dx = \frac{dt}{ ln(2) t}$

$\int\limits \frac{tdt}{t ln(2) \sqrt{1 - {t}^{2} } } = \frac{1}{ ln(2) } \int\limits \frac{dt}{ \sqrt{1 - {t}^{2} } } = \\ = \frac{1}{ ln(2) } acsint + C = \\ = \frac{1}{ ln(2) } arcsin( {2}^{x} ) + C$