Question

Два экскаватора, работая вместе, могут выкопать котлован за 12 дней.Первый, работая отдельно, может выкопать этот котлован на 10 дней быстрее,чем второй.За сколько дней выкопает котлован каждый экскаватор, работая отдельно.

 

С помощью системы уравнений. 

Answer 1

пусть Х-дней работает один 1-й, тогда (Х+10)дней работает один 2-й.

значит 1/х - это скорость работы в день 1-го, а 1/(х+10) - скорость работы 2-го. вместе они работали 12 дней, следовательно получаем уравнение

12/х +12/(х+10) = 1  привидем  к общему знаменателю х(х+10) и оставим одни числители:

12х+12(х+10)=х(х+10)

12х+12х+120=х^2+10x

x^2-14x-120=0

D=676

x1=-6 - это отрицательное значение , чего быть не может при нашем условии

x2=20 -дней работал 1-й, 20+10=30-дней работаль 2-й.

Answer 2

I способ:

Предположим, что второй экскаватор может вырыть котлован за х дней, тогда первый экскаватор может вырыть котлован за (х-10) дней

таким образом

$frac{1}{x-10}$ - производительность первого экскаватора

 

$frac{1}{x}$ - производительность второго экскаватора

 

$(frac{1}{x-10}+frac{1}{x})$ - производительность двух экскаваторов при их совместной работе, а из условия задачи их производительность равна $frac{1}{12}$

согласно этим данным составим и решим уравнение:

 

$frac{1}{x-10}+frac{1}{x}=frac{1}{12}$

 

$12x+12(x-10)=x(x-10)$

 

$12x+12x-120=x^{2}-10x$

 

$24x-120=x^{2}-10x$

 

$x^{2}-10x-24x+120=0$

 

$x^{2}-34x+120=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=b^{2}-4ac=(-34)^{2}-4cdot1cdot120=1156-480=676$

 

Дискриминант положительный

 

$sqrt{D}=26$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$x_{1}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{34+26}{2cdot1}=frac{60}{2}=30$

 

$x_{2}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{34-26}{2cdot1}=frac{8}{2}=4$

 

не подходит по смыслу или не удовлетворяет условию, так как $4<10$

 

следовательно

х=30 (дней) - выкопает котлован второй экскаватор.

х-10=30-10=20 (дней) - выкопает котлован  первый экскаватор.

II способ:

Предположим, что х - время одиночной работы первого экскаватора, у - время одиночной работы второго экскаватора

таким образом

$frac{1}{x}$ - производительность первого экскаватора

 

$frac{1}{y}$ - производительность второго экскаватора

 

согласно этим данным составим систему уравнений и решим её:

 

$left {{{y=x+10}atop{frac{1}{x}+frac{1}{y}=frac{1}{12}}}right$

 

$frac{1}{x}+frac{1}{x+10}=frac{1}{12}$

 

$12(x+10)+12x=x(x-10)$

 

$12x+120+12x=x^{2}+10x$

 

$24x+120=x^{2}+10x$

 

$x^{2}+10x-24x-120=0$

 

$x^{2}-14x-120=0$

 

Cчитаем дискриминант:

 

$D=b^{2}-4ac=(-14)^{2}-4cdot1cdot(-120)=196+480=676$

 

Дискриминант положительный

 

$sqrt{D}=26$

 

Уравнение имеет два различных корня:

 

$x_{1}=frac{-b+sqrt{D}}{2a}=frac{14+26}{2cdot1}=frac{40}{2}=20$

 

$x_{2}=frac{-b-sqrt{D}}{2a}=frac{14-26}{2cdot1}=frac{-12}{2}=-6$

 

не удовлетворяет условию, так как отрицательные дни быть не могут

 

следовательно

х=20 (дней) - выкопает котлован  первый экскаватор.

y=x+10=20+10=30 (дней) - выкопает котлован второй экскаватор.

 

Ответ: первый экскаватор выкопает котлован за 20 дней; второй экскаватор выкопает котлован за 30 дней.