Question

Завдання з вищої математики

Answer 1

Искомое множество точек состоит из тех и только тех точек пространства, которые расположены на таком же расстоянии от прямой, как и точка $M_{0}$.

Пусть $\vec{r}_{0}$ является произвольным радиус-вектором точки на оси. Тогда искомое расстояние до прямой, очевидно, равно $\rho=\frac{\left|[\vec{v},\; \vec{r}]\right|}{|\vec{v}|}$, где $\vec{v}_{0}$ есть направляющий вектор прямой, а $\vec{r} = \vec{r_{0}}-\vec{M_{0}}$.

Пусть $\vec{v} = (1,\; 2,\; -2)$. В качестве $\vec{r}_{0}$ можно взять $(-1,\; -1,\; -1)$ при $t=-1$.

$\left|[\vec{v},\; \vec{r}]\right| = \left|\det \left(\begin{array}{ccc}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1&2&-2\\-2&1&-2\end{array}\right)\right| = \sqrt{(-4+2)^2+(4+2)^2+(1+4)^2}=\sqrt{65}$,

$\rho=\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{65}}{3}$;

Теперь $\vec{M_{0}}$ можно заменить на произвольную точку $\vec{x}$. Тогда $\vec{r} = \vec{r}_{0}-\vec{x}$. Уравнение примет вид: $\frac{\sqrt{65}}{3} = \frac{\left|[\vec{v},\; \vec{r}]\right|}{3} \Rightarrow 65 = \left([\vec{v},\; \vec{r}]\right)^2$. Распишем подробнее: $\left([\vec{v},\; \vec{r}]\right)^2 = \left(\det\left(\begin{array}{ccc}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\1&2&-2\\-1-x&-1-y&-1-z\end{array}\right) \right)^2=65$. Отсюда нетрудно получить окончательный результат: $(-2-2z-2-2y)^2+(2+2x+1+z)^2+(-1-y+2+2x)^2=65$, наконец $8x^2+5y^2+5z^2+16x+14y+22z-4xy+4xz+8yz-39=0$.

(Возможно, есть некоторые арифметические ошибки, проверьте)