Question

Первый рабочий выполняет работу на 3 ч быстрее, чем второй. Если, работая вместе, первый рабочий работает в три раза быстрее, а второй – в два раза медленнее, то они выполнят эту работу за 2 целых 2/3ч. Определи, за сколько часов может выполнить работу каждый из них, работая самостоятельно.



возможные ответы
10ч и 13ч
9ч и 12ч
12ч и 15ч​

Answer 1

Ответ:

Работая самостоятельно первый рабочий выполнит работу за 9 часов, а второй за 12 часов.

Объяснение:

Требуется найти время, за которое может выполнить работу каждый из двух рабочих, выполняющих ее самостоятельно.

1) Проанализируем условие задачи: определим зависимость между величинами, введем обозначение неизвестной величины.

a) "Первый рабочий выполняет работу на 3 ч быстрее, чем второй".

Пусть первый рабочий выполняет всю работу за $\displaystyle x$ часов $\displaystyle (x>0).$

Так как первый рабочий выполняет работу на 3 ч быстрее, чем второй, то второму рабочему на всю работу потребуется $\displaystyle x+3$  часа.

Величину работы, выполняемой за единицу времени, называют производительностью труда.

Всю работу принимаем за 1.

Производительность первого рабочего (то есть часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $\displaystyle \frac{1}{x}$, а производительность второго рабочего $\displaystyle \frac{1}{x+3}$.

б) "Если, работая вместе, первый рабочий работает в три раза быстрее, а второй – в два раза медленнее, ..."

В этом случае производительность первого рабочего будет в 3 раза больше:  $\displaystyle \frac{1}{x} \cdot 3 = \frac{3}{x}$  ,  

а производительность второго рабочего в 2 раза меньше: $\displaystyle \frac{1}{x+3} :2= \frac{1}{x+3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2(x+3)}.$

в) "то они выполнят эту работу за 2 целых 2/3 ч".

Преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$\displaystyle 2\frac{2}{3}= \frac{3 \cdot2+2}{3} =\frac{8}{3}.$

Совместная производительность равна:

$\displaystyle 1 :\frac{8}{3} = \frac{3}{8} .$ (Такую часть работы выполнят два рабочих вместе за 1 час).

2) Cоставим уравнение и решим его.

Совместная производительность труда составит:

$\displaystyle \frac{3}{x}+ \frac{1}{2(x+3)} =\frac{3}{8}$  (по условию x >0, а значит x ≠0, x≠-3);

приведем к общему знаменателю:

$\displaystyle \frac{3 \cdot 8 \cdot(x+3)}{8x(x+3)}+ \frac{1 \cdot 4 \cdot x}{8x(x+3)} =\frac{3 \cdot x \cdot (x+3)}{8x(x+3)};\\\\\\24x+72 +4x=3x^{2}+9x;\\\\3x^{2}+9x-24x-4x-72=0;\\\\3x^{2}-19x--72=0.$

Решим полученное квадратное уравнение.

$\displaystyle D = b^{2} - 4ac = 19^{2} -4*3*(-72) =\\=361+864=1225=35^{2};\\\\\displaystyle x_{1,2} =\frac{-b\pm\sqrt{D} }{2a};$

$\displaystyle x_{1} =\frac{19-35}{6}=-\frac{16}{6}$ (отрицательное число не является решением задачи).

$\displaystyle x_{1} =\frac{19+35}{6}=\frac{54}{6}=9$

Таким образом, первый рабочий выполняет работу за 9 часов, а второй рабочий выполняет работу за 9 + 3 = 12 часов.