Question

428. В клетки прямоугольной таблицы вписаны некоторые числа.
Разрешено одновременно менять знак у всех чисел некоторого
столбца или некоторой строки. Докажите, что этими опера-
циями можно превратить данную таблицу в такую, у которой
суммы чисел, стоящих в любом столбце или в любой строке,
неотрицательны.​

Answer 1

Ответ:

С помощью перемен знака у чисел некоторого столбца или некоторой строки таблицы мы можем, очевидно, получить не больше чем 2ab, различных таблиц. Поскольку таких таблиц имеется конечное число, среди них существует таблица, сумма всех чисел которой максимальна.

Мы должны, меняя знаки у чисел некоторых строк и столбцов, прийти к таблице с наибольшей общей суммой - она и будет искомой.