Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями (через интегралы)

Answer 1

разделим на 2 фигуры и найдем 2 площади (разделила жёлтой линией).

Найдем точку пересечения двух функций:

$\frac{1}{x} = 2x \\ 2 {x}^{2} - 1 = 0 \\ {x}^{2} = \frac{1}{2} \\ x = + - \sqrt{ \frac{1}{2} }$

нам подходит та, что > 0

$x = \sqrt{ \frac{1}{2} }$

S1 ищем от 0 до 1/(корень из 2), S2 от 1/(корень из 2) до 1.

$S1 = \int\limits ^{ 0} _ { \frac{1}{ \sqrt{2} } }2xdx = \frac{2 {x}^{2} }{2} | ^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } _ { 0 } = {x}^{2} | ^{ \frac{1}{ \sqrt{2} } } _ {0} = \\ = \frac{1}{2} - 0 = 0.5$

$S2 = \int\limits ^{ 1} _ { \frac{1}{ \sqrt{2} } } \frac{dx}{x} = ln(x) | ^{ 1} _ { \frac{1}{ \sqrt{2} } } = \\ = ln(1) - ln( \frac{1}{ \sqrt{2} } ) = ln(1 \div \frac{1}{ \sqrt{2} } ) = \\ = ln( \sqrt{2} )$

$S1 + S2 = 0.5 + ln( \sqrt{2} )$

если примерно посчитать, то

$S = 0.85$