Question

Здраствуйте помогите с мат анализом

Answer 1

$y = \frac{1}{x} , \: y = \frac{1}{2x - 1}, \: x = 2, \: x = a, \: (a > 2)$

Для лучшего понимания, построим известные функции.

Запишем формулу для вычисления площади:

$S = \int_{2}^{a} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 1} )dx$

По условию мы хотим чтобы данная площадь равнялась $ln(\frac{4}{\sqrt{5}})$.

Сперва найдём интеграл:

$\int_{2}^{a} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 1} )dx = \int_{2}^{a} \frac{1}{x} dx - \int_{2}^{a} \frac{1}{2x - 1} dx = ( ln( |x| ) - \frac{1}{2} ln( |2x - 1| ) ) |_{2}^{a} = ln(a) - \frac{1}{2} ln(2a - 1) - ( ln(2) - \frac{1}{2} ln(3) ) = ln(a) - ln( \sqrt{2a - 1} ) - ( ln(2) - ln( \sqrt{3} ) ) = ln( \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } ) - ln( \frac{2}{ \sqrt{3} } ) = ln( \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } }{ \frac{2}{ \sqrt{3} } } )$

Итого: $S = ln(\frac{4}{\sqrt{5}})=ln( \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } }{ \frac{2}{ \sqrt{3} } } )$.

Теперь решим уравнение относительно параметра а:

$ln( \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } }{ \frac{2}{ \sqrt{3} } } ) = ln( \frac{4}{ \sqrt{5} } ) \\ \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } }{ \frac{2}{ \sqrt{3} } } = \frac{4}{ \sqrt{5} } \\ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } = \frac{4}{ \sqrt{5} } \times \frac{2}{ \sqrt{3} } \\ \frac{a}{ \sqrt{2a - 1} } = \frac{8}{ \sqrt{15} } \\ a \sqrt{15} = 8 \sqrt{2a - 1} \\ 15 {a}^{2} = 64(2a - 1) \\ 15 {a}^{2} = 128a - 64 \\ 15 {a}^{2} - 128a + 64 = 0, \: k = - 64 \\ D = ( - 64) {}^{2} - 15 \times 64 = 4096 - 960 = 3136 \\ \sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56 \\ a_{1} = \frac{64 + 56}{15} = 8 \\ a_{2} = \frac{64 - 56}{15} = \frac{8}{15}$

По условию задачи, $a>2$ поэтому второй корень отпадает, следовательно $a=8$.

Ответ: 8