Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCD треугольной пирамиды, противоположные ребра которой попарно равны AB=CD=4, AC=BD=6, AD=BC=7. В ответе выпишите результат, округленный до целого. Срочно!!!!!!!!!!!!!
Ответы
Пусть основание пирамиды - грань АВС.
Решение удалось только с применением аналитической геометрии.
Пирамиду поместим в систему координат: точкой А(0; 0;0) в начало, точкой С(6; 0; 0) - по оси Ох.
Для определения положения вершины пирамиды точки D к сторонам треугольника АВС наложим развёртки боковых граней.
Точка D находится на пересечении перпендикуляров из наложенных точек D к сторонам треугольника АВС.
По теореме косинусов определяем углы треугольника АВС и координаты точки В.
cosA = (6²+4²-7²)/(2*6*4) = 3/48 = 1/16 = 0,0625.
A = arc cos(1/16) = 1,50826 радиан или 86,41668 градуса.
Находим координаты точки В:
х(В) = AB*cosA = 4*(1/16) = 1/4 = 0,25.
y(B) = AB*sinA = 4*√(1-(1/16)²) = 4*0,99805 = 3,99218
.
По координатам точек А и В составляем уравнение стороны АВ в плоскости АВС:
(x/0,25) = (y/3,99218) или в общем виде 3,99218x + 0,25y = 0.
Находим уравнение перпендикуляра к стороне АВ из наложенной точки D.
Для этого решаем треугольники боковых граней ABD и ACD и находим проекции ребра AD на стороны АВ и АС.
AD₁ AD₂
3,625 5,75.
По ним находим уравнения перпендикуляров и точку их пересечения Do
Уравнение D₁Do: -0,25 x + -3,992179856 y + C = 0,
Подставляем координаты точки D₁:
-0,056640625 + -14,44335938 +C = 0 и определяем С = 14,5.
Уравнение D₁Do:
-0,25 x + -3,992179856 y + 14,5 = 0.
или с угловым коэффициентом y = -0,0626 x + 3,632100888.
Подставим сюда х точки D₂ и получаем координаты проекции точки D на АВС:
координаты Do
х у
5,750 3,272021921.
По Пифагору находим величину проекции AD на АВС:
АDo = 6,615786231.
Отсюда определяем высоту пирамиды:
H = DDo = √(7² - 6,615786231²) = 2,28722.
Так как все грани пирамиды имеют равные длины рёбер, то высоты из любой вершины на противоположную грань равны.
Ответ: расстояние от вершины A до плоскости BCD равно 2,28722.
