Question

Практическое занятие № 7
Задание. Даны координаты четырех точек А (х1; у1; z1), В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4). Необходимо найти:
1) уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В, С;
2) канонические уравнения прямой АВ;
3) уравнение плоскости G, проходящей через точку D перпендикулярно прямой АВ;
4) расстояние от точки D до плоскости Q.

5. А (–6; –4; 2); В (5; –2; –1); С (5; 6; –4); D (2; 8; 6);

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)уравнение плоскости Q, проходящей через точки

А (–6; –4; 2);

В (5; –2; –1);

С (5; 6; –4);

для составления уравнения плоскости используем формулу

$\left[\begin{array}{ccc}x-z_A&y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A\end{array}\right] =0$

$\left[\begin{array}{ccc}x-(-6)&y-(-4)&z-2\\5-(-5)&(-2)-(-4)&-1-2\\5-(-6)&6-(-4)&-4-2\end{array}\right] =0$

(x -(-6))(2*(-6) - (-3)*10) - (y -(-4))(11*(-6) -(-3)*11 ) + (z -2)(11*10 -2*11) = 0

18(x -(-6)) + 33(y - (-4)) +  88(z - 2) = 0

и вот мы получаем уравнение плоскости Q

Q : 18x + 33y + 88z +64 = 0

2) канонические уравнения прямой АВ.  А(–6; –4; 2); В(5; –2; –1);

формула канонического уравнения прямой

$\frac{x-x_A}{x_B-x_A} =\frac{y-y_A}{y_B-y_A} =\frac{z-z_A}{z_B-z_A}$

наша формула прямой

$\frac{x+6}{11} =\frac{y+4}{2} =\frac{z-2}{-3}$

3) уравнение плоскости G, проходящей через точку D(2; 8; 6) перпендикулярно прямой АВ

будем искать прямую в виде $A(x-x_D)+B(y-y_D)+C(z-z_D)=0$

здесь А, В, С - координаты направляющего вектора.

поскольку G ⊥ АВ, то нормаль АВ будет направляющим вектором для G ⇒ s = n = (11, 2, -3)

и вот формула

G : 11y + 2y - 3z -20 =0

4) расстояние от точки D(2; 8; 6) до плоскости Q : 18x + 33y + 88z +64=0

для расчета нам потребуется

А = 18;  В = 33;  С = 88;  D = 64;

$d=\frac{IA*D_A+B*D_e+C*d_z+DI}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} }$

$d=\frac{18*2+33*8+88*6+64}{\sqrt{18^2+33^2+88^2} } =\frac{892}{\sqrt{9157} } =\frac{892\sqrt{9157} }{9157}$