Question

Найдите все пары натуральных x и y таких, что x2y2+x2+y2=3736. В качестве ответа введите все возможные значения x.

Answer 1

Ответ:

{(6; 10), (10; 6)}

Объяснение:

Преобразуем уравнение и учитывая то, что числа 37 и 101 простые, получим

$\displaystyle \tt x^2 \cdot y^2+x^2+y^2=3736 \Leftrightarrowx^2 \cdot (y^2+1)+y^2+1=3736+1 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow (x^2+1) \cdot (y^2+1)=3737 \Leftrightarrow (x^2+1) \cdot (y^2+1)=37 \cdot 101 \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle \tt \left \{ {{x^2+1=37} \atop {y^2+1=101}} \right. \\ \displaystyle \tt \left \{ {{x^2+1=101} \atop {y^2+1=37}} \right. \end {array} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle \tt \left \{ {{x^2=36} \atop {y^2=100}} \right. \\ \displaystyle \tt \left \{ {{x^2=100} \atop {y^2=36}} \right. \end {array} \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle \tt \left \{ {{x=\pm 6} \atop {y= \pm 10}} \right. \\ \displaystyle \tt \left \{ {{x=\pm 10} \atop {y= \pm 6}} \right. \end {array}.$

По условию x и y натуральные числа, поэтому

(x; y) ∈ {(6; 10), (10; 6)}.