Question

Помогите мне пожалуйста: способом введения новой переменной решите уравнения (только 2 уравнение)!​

Answer 1

Ответ:

$19-\sqrt{349}, \quad 1, \quad 2, \quad 19+\sqrt{349};$

Объяснение:

ОДЗ:

$7x-2 \neq 0 \Rightarrow 7x \neq 2 \Rightarrow x \neq \frac{2}{7};$

$x^{2}+4x \neq 0 \Rightarrow x(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \quad \vee \quad x \neq -4;$

Решение:

$\frac{x^{2}+4x}{7x-2}-\frac{12-42x}{x^{2}+4x}=7;$

$\frac{x^{2}+4x}{7x-2}-\frac{6(2-7x)}{x^{2}+4x}=7;$

$\frac{x^{2}+4x}{7x-2}+\frac{6(7x-2)}{x^{2}+4x}=7;$

$\frac{x^{2}+4x}{7x-2}+6 \cdot \frac{7x-2}{x^{2}+4x}-7=0;$

Введём замену:

$t=\frac{x^{2}+4x}{7x-2} \Rightarrow \frac{7x-2}{x^{2}+4x}=\frac{1}{t};$

Перепишем уравнение с учётом замены:

$t+6 \cdot \frac{1}{t}-7=0 \quad | \quad \cdot t \neq 0$

$t^{2}-7t+6=0;$

$t^{2}-6t-t+6=0;$

$t(t-6)-1(t-6)=0;$

$(t-1)(t-6)=0;$

$t-1=0 \quad \vee \quad t-6=0;$

$t=1 \quad \vee \quad t=6;$

Вернёмся к замене:

$\frac{x^{2}+4x}{7x-2}=1 \quad \vee \quad \frac{x^{2}+4x}{7x-2}=6;$

$x^{2}+4x=7x-2 \quad \vee \quad x^{2}+4x=42x-12;$

$x^{2}+4x-7x+2=0 \quad \vee \quad x^{2}+4x-42x+12=0;$

$x^{2}-3x+2=0 \quad \vee \quad x^{2}-38x+12=0;$

$x^{2}-2x-x+2=0 \quad \vee \quad x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a};$

$x(x-2)-1(x-2)=0 \quad \vee \quad x=\frac{-(-38) \pm \sqrt{(-38)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1};$

$(x-1)(x-2)=0 \quad \vee \quad x=\frac{38 \pm \sqrt{38^{2}-48}}{2};$

$x-1=0 \quad \vee \quad x-2=0 \quad \vee \quad x=\frac{38 \pm \sqrt{900+480+64-48}}{2};$

$x=1 \quad \vee \quad x=2 \quad \vee \quad x=\frac{38 \pm \sqrt{4(225+120+16-12)}}{2};$

$x=1 \quad \vee \quad x=2 \quad \vee \quad x=\frac{38 \pm 2\sqrt{349}}{2};$

$x=1 \quad \vee \quad x=2 \quad \vee \quad x=19 \pm \sqrt{349};$

Корни удовлетворяют ОДЗ.