Question

как найти сторону прямоугольника если известен только периметр и диагональ?
​

Answer 1

1. Найти полупериметр (p). Это сумма двух сторон.

2. Рассмотреть прямоугольный треугольник с гипотенузой равной диагонали прямоугольника , катетом х и катетом (p-x).

3. По теореме Пифагора записать выражение. И решить уравнение. Определим х, катет. Затем второй катет. Это и будут стороны прямоугольника.

Например. Диагональ 10, периметр 28, тогда р=14.

х^2+(14-х)^=10^2,

х^2+196-28х+х^2=100,

2х^2-28х+96=0,

х^2-14х+48=0,

х1=6, х2=8.

Стороны прямоугольника 6 и 8.

Answer 2

Пусть а - длина, b - ширина, d - диагональ прямоугольника ABCD
AC и BD - диагонали
AC = BD = d
P = 2(a+b) - периметр прямоугольника.

Можно по теореме Пифагора записать, чему равна сторона а в зависимости от диагонали d и стороны b и наоборот, сторона b в зависимости от диагонали d и стороны a:
a² = d² - b²
a = √(d² - b²)
И наоборот:
b² = d² - a²
b = √(d² - a²)

Используем формулу периметра и, например, значение а через b:
P = 2(a + b)
P = 2(√(d² - b²) + b
√(d² - b²) + b = P/2
√(d² - b²) = P/2 - b
(√(d² - b²))² = (P/2 - b)²
d² - b² = (P/2)² - 2(P/2)b + b²
2b² - Pb + ((P/2)² - d²) = 0

Если решить это квадратное уравнение, то получим два корня, один из которых будет равным стороне b
Дискриминант D = P² - 4•2•((P/2)² - d²)
√D = √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}
b1 = (P + √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}) / (2•2)
или
b1 = (P + √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}) / 4
b2 = (P - √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}) / 4

Точно так же можно вывести формулу для а.
Получится
а1 = (P + √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}) / 4
а2 = (P - √{P² - 4•2•[(P/2)² - d²]}) / 4
Получается, что один из корней равен стороне a, а другой - стороне b.

К примеру, если Р = 14, d = 5, то:
b = (14 + √{14² - 4•2•[(14/2)² - 5²]}) / 4
= (14 + √{196 - 8•[49 - 25]}) / 4 =
= (14 + √(196 - 8•24)) / 4 =
= (14 + √(196 - 192)) / 4 =
= (14 + √4) / 4 =
= (14 + 2) / 4 =
= 16/4 = 4 - сторона b.

a = (14 - √{14² - 4•2•[(14/2)² - 5²]}) / 4
= (14 - √{196 - 8•[49 - 25]}) / 4 =
= (14 - √(196 - 8•24)) / 4 =
= (14 - √(196 - 192)) / 4 =
= (14 - √4) / 4 =
= (14 - 2) / 4 =
= 12/4 = 3 - сторона a.







​​