Question

Пусть r радиус окружности, вписанной в прямо- угольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Докажите, что r = 1/2*(a + b − c).

Answer 1

Пусть точки касания вписанной окружности делят сторону a на отрезки длиной x,y, сторону b на отрезки длиной x,z, сторону c на отрезки длиной x,z.  Тогда достаточно доказать, что r=1/2(x+y+x+z-y-z), r=x. Но четырехугольник, у которого две вершины - точки касания вписанной окружности и катетов, одна вершина - центр вписанной окружности, и одна вершина - вершина прямого угла, является квадратом, у которого две стороны равны x, а две стороны равны r, значит, x=r.