Предмет: Алгебра, автор: k1nza

Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
1

Ответ:

это уравнение Бернулли.

Разделим каждый член на у в степени 3/4

 \frac{y'}{ {y}^{ \frac{3}{4} } }  +  \frac{2}{x}  {y}^{ \frac{1} {4} }  = 2 {x}^{2}  \\

замена:

 {y}^{ \frac{1}{4} } =  z \\ z '=  \frac{1}{4}  {y}^{ -   \frac{3}{4}  }  \times y'=  \frac{y'}{4 {y}^{ \frac{3}{4} } }  \\  \frac{y'}{ {y}^{ \frac{3}{4} } }  = 4z '

4z' + z \times  \frac{2}{x}  = 2 {x}^{2}  \\ z'+  \frac{z}{2x}  =  \frac{ {x}^{2} }{2}

получили ЛДУ.

Замена:

z = uv \\ z' = u'v  + v'u

u'v + v'u +  \frac{uv}{2x}  =  \frac{ {x}^{2} }{2}  \\ u'v + u(v +  \frac{v}{2x} ) =  \frac{ {x}^{2} }{2}  \\  \\ 1)v +  \frac{v}{2x}  = 0 \\  \frac{dv}{dx}  =  -  \frac{z}{2x}  \\ \int\limits \frac{dv}{v}  =  -  \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{x}  \\  ln(v)  =  -  \frac{1}{2}  ln(x)  \\ v =  \frac{1}{ \sqrt{x} }  \\  \\ 2) u'v =  \frac{ {x}^{2} }{2}  \\  \frac{du}{dx}  \times  \frac{1}{ \sqrt{x} }  =  \frac{ {x}^{2} }{2}  \\ \int\limits \: du =  \frac{1}{2} \int\limits  {x}^{ \frac{5}{2} } dx \\ u =  \frac{1}{2}  \times  \frac{ {x}^{ \frac{7}{2} } }{ \frac{7}{2} }  + C \\ u =  \frac{1}{7}  {x}^{3}  \sqrt{x}  + C \\  \\ z =  \frac{1}{ \sqrt{x} } ( \frac{1}{7}  {x}^{3}  \sqrt{x}  + C) =  \\  =  \frac{ {x}^{3} }{7}  +  \frac{C}{ \sqrt{x} }  \\  \\  \sqrt[4]{y}  =  \frac{ {x}^{3} }{7}  +  \frac{C}{ \sqrt{x} }

общее решение

Похожие вопросы
Предмет: Українська мова, автор: Zaykarudenko
Предмет: Математика, автор: kolibri18