Question

Помогите пожалуйста решить срочно желательно на листочке

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}$

Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n-1} \cdot\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}\right| =$

$= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$

$a_n = \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}$

Рассмотрим ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$

Используем предельный признак сравнения:

$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}}{\frac{1}{n}} =$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n+1} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} = 2$

Значит ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$

сходятся или расходятся одновременно, но ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

это гармонический ряд, который расходится. Значит и ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)}$

расходится.

Исследуем данный в задании ряд на условную сходимость. Используем признак Лейбница. Ряд знакочередующийся.

$a_{n+1} = \frac{2\cdot(n+1) + 1}{(n+1)\cdot (n+1+1)} = \frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2n+3}{(n+1)\cdot (n+2)} }{\frac{2n+1}{n\cdot(n+1)}} =$

$= \frac{2n+3}{2n+1} \cdot \frac{n}{n+2} = \frac{2n^2 +3n}{2n^2 + 4n + n + 2} =$

$= \frac{2n^2 + 3n}{2n^2 + 5n + 2} < 1$

т.к. $2n^2 + 3n < 2n^2 + 5n + 2$ ⇔ $0 < 2n+2$ ⇔ $n+1 > 0$.

То есть $a_{n+1} < a_n$.

То есть последовательность $a_n$ монотонно убвывает.

$\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n\cdot (n+1)} =$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \frac{2n+1}{n^2 + n} =$

$= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{ 1 + \frac{1}{n}} = 0$

То есть последовательность $a_n$ монотонно убвывает и стремится к нулю. Итак, по признаку Лейбница, исходный ряд сходится.

Ответ. Сходится условно.