Question

Указать закон гармонических колебаний, который описывает колебания с частотой 0,4 Гц и амплитудой 5 см

Answer 1

Для координаты (X), скорости (V) и ускорения (a) когда система оттянута от положения равновесия:

$w_0=\frac{2\pi }{T} =\frac{2\pi }{\frac{1}{v} } = 2\pi v\\\\X=A*cos(w_0t)=A*cos(2\pi vt)=0,05*cos(2\pi 0,4t)=0,05*cos(0,8\pi t)\\\\V=X'=-A*w_0*sin(w_0t)=-A*2\pi v*sin(2\pi vt)=\\=-0,05*2\pi 0,4*sin(2\pi 0,4t)=-0,04\pi *sin(0,8\pi t)\\\\a=X''=V'=-A*w^2_0*cos(w_0t)=-A*4\pi ^2v^2*cos(2\pi vt)=\\=-0,05*4\pi ^20,4^2*cos(2\pi 0,4t)\\=-0,032\pi ^2*cos(0,8\pi t)$

Также вместо косинуса можно использовать синус (если система начала колебаться под влиянием толчка, а не была оттянута от положения равновесия):

$X=A*sin(w_0t)=0,05*sin(0,8\pi t)\\\\V=X'=A*w_0*cos(w_0t)=0,04\pi *cos(0,8\pi t)\\\\a=X''=V'=-A*w^2_0*sin(w_0t)=-0,032\pi ^2*sin(0,8\pi t)$

Для некоторого состояния системы (когда она уже колеблется, и выбран произвольный момент времени в качестве нулевого состояния системы - когда она находится в фазе f):

$X = A*cos(w_0t + f) = 0,05*cos(2\pi 0,4t+f)=0,05*cos(0,8\pi t+f)\\X = A*sin(w_0t + f) = 0,05*sin(0,8\pi t+f)$

Формулу координаты также можно представить как в виде косинуса, так и в виде синуса:

$X = A*cos(w_0t)=A*sin(w_0t+\pi/2)\\A*sin(w_0t+\pi /2)=A*sin(2\pi vt+\pi /2)=A*sin(\frac{4\pi vt+\pi }{2})=\\=A*sin(\frac{\pi(4 vt+1) }{2})=0,05*sin(\frac{\pi (4*0,4t+1)}{2})=0,05*sin(\frac{\pi (1,6t+1)}{2})$