Question

С помощью определенного интеграла вычислить площадь области D, ограниченной заданными линиями.
D: y = 2x+1, y = x^2 + x - 1.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

первым делом строим график. из него видна и область, и точки интегрирования по х, и то, какая функция будет у₁ а какая у₂ (у₁ та, график которой "выше"

1. верхний и нижний предел интегрирования

по графику х₁ = -1;  х₂ = 2

можно и аналитически найти эти пределы

х²+x -1 = 2x +1;  x² -x -2 = 0   x₁= -1;     x₂= 2

2. по графику у₁ будет y = 2x+1;  

у₁ = 2x+1;  y₂=x² + x - 1;     y₁-y₂ = 2x +1 - x² -x +1 = -x² +x +2

теперь есть всё для нахождения площади фигуры

$S=\int\limits^2_{-1} {(-x^2 +x +2)} \, dx = -\int\limits^2_{-1} {(x^2)} \, dx+\int\limits^2_{-1} {(x)} \, dx+2\int\limits^2_{-1} {} \, dx =$

$= -\frac{x^3}{3} I_{-1}^2+\frac{x^2}{2} I_{-1}^2+2xI_{-1}^2=-3+\frac{3}{2} +6=\frac{9}{2}$