Question

Введите все остатки, которые может давать число m6+n6 (числа m и n — целые) при делении на 9.

Answer 1

Ответ:

0; 1; 2

Объяснение:

Требуется найти, какие остатки может давать число m^6 + n^6 (сумма шестых степеней любых двух чисел) при делении на 9.

При делении числа k на 9 остаток может быть любым от 0 до 8.

Но число k^6 дает такие остатки при делении на 9:

1) Если остаток при делении k на 9 равен 0:

k = 9n, k^6 = (9n)^6 = 9^6*n^6, остаток p = 0.

2) Если остаток при делении k на 9 равен 1:

k = 9n+1, k^6 = (9n+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

3) Если остаток при делении k на 9 равен 2:

k = 9n+2, k^6 = (9n+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

4) Если остаток при делении k на 9 равен 3:

k = 9n+3, k^6 = (9n+3)^6 = 9*(...) + 3^6 = 9*(...) + 9*3^4, остаток p = 0.

5) Если остаток при делении k на 9 равен 4:

k = 9n+4, k^6 = (9n+3+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

6) Если остаток при делении k на 9 равен 5:

k = 9n+5, k^6 = (9n+3+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

7) Если остаток при делении k на 9 равен 6:

k = 9n+2, k^6 = (9n+6)^6 = 9*(...) + 6^6 = 9*(...) + 9*4*6^4, остаток p = 0.

8) Если остаток при делении k на 9 равен 7:

k = 9n+2, k^6 = (9n+6+1)^6 = 9*(...) + 1^6 = 9*(...) + 1, остаток p = 1.

9) Если остаток при делении k на 9 равен 8:

k = 9n+8, k^6 = (9n+6+2)^6 = 9*(...) + 2^6 = 9*(...) + 64 = 9*(...) + 63 + 1, остаток p = 1.

Как видим, любое число в 6 степени при делении на 9 может давать остатки только 0 или 1.

Поэтому сумма m^6 + n^6 может давать остатки:

1) 0 + 0 = 0

2) 0 + 1 = 1 + 0 = 1

3) 1 + 1 = 2