Question

Длина рёбра куба ABCDA1B1C1D1 равна 2. Найдите расстояние: а) от точки B до прямой A1C1; б) от точки А до прямой BD1.
Решение методом координат

Answer 1

Ответ:

а) √6 ед.  б) 2√6/3 ед.

Объяснение:

Для начала рассмотрим сущность вопроса (рис1).

Пусть дана прямая АВ, лежащая в некоторой плоскости α и точка М(Xm;Ym;Zm), не лежащая в этой плоскости. Расстояние d от точки М до прямой АВ - это длмна высоты параллелограмма, построенного на векторах АВ и МА. Но площадь указанного параллелограмма - не что иное, как ВЕКТОРНОЕ произведение вектора АВ (или направляющего вектора р прямой АВ) и вектора МА - по определению.

Зная, что высота параллелограмма равна частному от деления его площади на длину стороны, к которой эта высота проведена, выводим формулу:

d = |(MA,p)|/|p|, где (MA,p) ВЕКТОРНОЕ произведение векторов МА и р.

а) Привяжем начало координат к вершине В. Тогда имеем точки:

В(0;0;0), А1(0;2;2), С1(2;0;2).

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1).

В нашем случае для прямой А1С1:

(x-0)/2 = (y-2)/-2 = (z-2)/0 => Направляющий вектор прямой А1С1:

р{2;-2;0}.

Расстояние от точки В до прямой А1С1 найдем по формуле:

d(В,А1С1) = |(BA1,p)|/|p|, где (BA1,p) - векторное произведение векторов ВА1 и р.

В нашем случае вектор р = {2;-2;0}.

Вектор ВА1 = {0;-2;-2} (как разность координат конца и начала).

Векторное произведение векторов ВА1 и р:

              | i   j   k |

(BA1,p) = | 0 -2 -2 | = i(4-0) - j(-4-0) +k(-4-0) = 4i+4j-4k.

              | 2 -2 -2 |

Модуль |(BA1,p)| = √(i²+j²+k²) = √(16+16+16) = 4√3.

Модуль |p| = √(4+4+0) = 2√2.  тогда искомое расстояние равно:

d = 4√3/2√2 = √6.

b) Аналогично.

Привяжем начало координат к вершине В. Тогда имеем точки:

А(2;2;0), В(0;0;0), D1(2;2;2).

Уравнение прямой BD1, проходящей через 2 точки:

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1).

В нашем случае для прямой BD1:

x/2 = y/2 = z/2 => Направляющий вектор прямой BD1:

р{2;2;2}.

Расстояние от точки A до прямой BD1 находится по формуле:

d(A,BD1) = |(AB,p)|/|p|, где (AB,p) - векторное произведение векторов AВ и р.

В нашем случае вектор р = {2;2;2}.

Вектор AB = {-2;-2;0} (как разность координат конца и начала).

Векторное произведение векторов AВ и р:

            | i     j  k |

(AB,p) = |-2 -2  0 | = i(0+4) - j(0+4) +k(-4+4) = 4i+4j.

            | 2   2  2 |

Модуль |(AB,p)| = √(i²+j²+k²) = √(16+16+0) = 4√2.

Модуль |p| = √(4+4+4) = 2√3.  тогда искомое расстояние равно:

d = 4√2/2√3 = 2√6/3.

P.S. для сравнения в приложении на втором рисунке дано решение геометрически.