Question

Помогите найти производную функции $y=x^{\sqrt{x}}* 2^{sinx}$ c помощью логарифмического дифференцирования

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$y = {x}^{ \sqrt{x} } \times {2}^{ \sin(x) }$

$y = ( {x}^{ \sqrt{x} } ) '\times {2}^{ \sin(x) } + ( {2}^{ \sin(x) } )' \times {x}^{ \sqrt{x} }$

$( {x}^{ \sqrt{x} } )' = ( ln( {x}^{ \sqrt{x} } ) )' \times {x}^{ \sqrt{x} }$

$( ln( {x}^{ \sqrt{x} } ) )' = ( \sqrt{x} \times ln(x) )' = \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x} } ln(x) + \frac{1}{x} \times \sqrt{x} = \\ = \frac{ ln(x) }{2 \sqrt{x} } + \frac{1}{ \sqrt{x} } = \frac{ ln(x) + 2}{2 \sqrt{x} }$

получаем:

$( {x}^{ \sqrt{x} } ) '= {x}^{ \sqrt{x} } \times \frac{ ln(x) + 2}{2 \sqrt{x} }$

$y' = {x}^{ \sqrt{x} } \times \frac{ ln(x) + 2 }{2 \sqrt{x} } \times {2}^{ \sin(x) } + ln(2) \times {2}^{ \sin(x) } \times \cos(x) \times {x}^{ \sqrt{x} } = \\ = {x}^{ \sqrt{x} } {2}^{ \sin(x) } ( \frac{ ln(x) + 2}{2 \sqrt{x} } + ln(2) \times \cos(x))$