Question

СРОЧНО! Решить уравнение

Answer 1

$(1+x^2)y'+y=\mathrm{arctg} x$

$y'+\dfrac{1}{1+x^2} \cdot y=\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}$

Решение ищем в виде произведения двух ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+uv'$

Получим:

$u'v+uv'+\dfrac{1}{1+x^2} \cdot uv=\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого левой части равна нулю:

$u'v+\dfrac{1}{1+x^2} \cdot uv=0$

$u'+\dfrac{1}{1+x^2} \cdot u=0$

$u'=-\dfrac{1}{1+x^2} \cdot u$

$\dfrac{du}{dx} =-\dfrac{1}{1+x^2} \cdot u$

$\dfrac{du}{u} =-\dfrac{dx}{1+x^2}$

$\int\dfrac{du}{u}=-\int\dfrac{dx}{1+x^2}$

$\ln u=-\mathrm{arctg}x$

$u=e^{-\mathrm{arctg}x}$

Вернемся к полученному выражению. Тогда второе слагаемое должно равняться правой части:

$uv'=\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}$

Значение функции u уже определено:

$e^{-\mathrm{arctg}x}\cdot v'=\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}$

$v'=\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}\cdot e^{\mathrm{arctg}x}$

$\dfrac{dv}{dx} =\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}\cdot e^{\mathrm{arctg}x}$

$dv =\dfrac{\mathrm{arctg} x}{1+x^2}\cdot e^{\mathrm{arctg}x}dx$

$\int dv =\int \mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg}x}\dfrac{dx}{1+x^2}$

В правой части выполним подведение под знак дифференциала:

$v =\int \mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg}x}d(\mathrm{arctg}x)$

Интеграл найдем по частям, сделав замену $\mathrm{arctg}x=z$:

$\int ze^{z}dz=\left<\begin{array}{ccc}p=z&\Rightarrow& dp=dz\\e^zdz=dq&\Rightarrow &q=e^z\end{array}\right>=ze^z-\int e^zdz=ze^z-e^z+C$

Таким образом:

$\int \mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg}x}d(\mathrm{arctg}x)=\mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg} x}-e^{\mathrm{arctg} x}+C$

Значит:

$v=\mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg} x}-e^{\mathrm{arctg} x}+C$

Находим искомую функцию:

$y=uv$

$y=e^{-\mathrm{arctg}x}\cdot\left(\mathrm{arctg} x\cdot e^{\mathrm{arctg} x}-e^{\mathrm{arctg} x}+C\right)$

$\boxed{y=\mathrm{arctg} x-1+Ce^{-\mathrm{arctg}x}}$