Question

ПОМОГИТЕ!!!!!!!!
не могу понять ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

z=ln(x²+xy+y²)

$z'_x =\frac{2x+y}{x^2+xy+y^2} ;$   $z'_y=\frac{x+2y}{x^2+xy+y^2}$

проверяем первое уравнение

$\frac{x(2x+y)}{x^2+xy+y^2} +\frac{y(x+2y)}{x^2+xy+y^2} =\frac{2x^2+xy+xy+2y^2}{x^2+xy+y^2} =\frac{2(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} =2$

теперь будет похуже. тут надо не запутаться

запишем сразу обозначения? чтобы не умудохаться писать

$\frac{\delta^2z}{\delta x\delta y} =z''_{xy}$        $\frac{\delta^2z}{\delta y\delta x} = z''_{yx}$

теперь чтобы получить $z''_{xy}$ мы возьмем производную по у от z'ₓ

$z''_{xy}=(z'_x)'_y= \frac{(-x-2y)(2x+y)}{(x^2+yx+y^2)^2} +\frac{1}{x^2+xy+y^2}$

аналогичнр для $z''_{yx}$  мы возьмем производную по х от $z'_y$

$z''_{yx} = (\frac{x+2y}{x^2+xy+y^2} )'_x=\frac{(-2x-y)(x+2y)}{x^2+xy+y^2} +\frac{1}{x^2+xy+y^2}$

вторые дроби у нас совпадают. знаменатели первых дробей тоже совпадают.

тогда проверим числители первых дробей

(-x-2y)(2x+y) = (-2x-y)(x+2y)

-2x²-xy -4xy -2y² = -2x² -4xy -xy -2y²

что и требовалось доказать

$z''_{xy} = z''_{yx}$