Question

Вычисли наибольшее значение функции
y =х/64+х^2
на лучe [0; + co).

Ответ (вводи в виде сокращённой дроби):

Унаиб=

Укажи стационарные точки функции (выбери один ответ):

*стационарных точек нет
*+-3
*+-64
* +-8

Answer 1

Ответ:

Унаиб=1/16

Стационарные точки функции

*±8

Пошаговое объяснение:

Рассматривается функция

$\displaystyle \tt y=\dfrac{x}{64+x^2}.$

Вычислим производную от функции:

$\displaystyle \tt y'= \left( \dfrac{x}{64+x^2} \right )'= \dfrac{(x)' \cdot (64+x^2)-x \cdot (64+x^2)'}{(64+x^2)^2}=\dfrac{64+x^2-x \cdot 2 \cdot x}{(64+x^2)^2}=\\\\=\dfrac{64-x^2}{(64+x^2)^2}.$

Находим стационарные точки функции

$\displaystyle \tt y'= 0 \Leftrightarrow \dfrac{64-x^2}{(64+x^2)^2} =0 \Leftrightarrow 64-x^2=0 \Leftrightarrow (8+x) \cdot (8-x)=0 \Rightarrow x= \pm 8.$

Так как 8∈[0; +∞) и при 0≤x<8 : y'>0, при x>8 : y'<0, то наибольшее значение функция достигает на лучe [0; +∞) в точке x=8, то есть

Унаиб=У(8)=8/(64+8²)=8/128=1/16.