Question

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания АВ равна 7. А боковое ребро РВ равно 6. На ребрах СD и РС взяты соответственно точки М и К, при этом DМ=2, РК=1
а) докажите, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС.
Б) найдите объем пирамиды КВСМ.

Answer 1

а) Доказательством того, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости АВС, служит совпадение проекции точки К на прямую ВМ.

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат точкой А в начало, АД - по оси Ох, АВ - по оси Оу.

Уравнение АС: у = х.

Уравнение ВМ: у = (-5/7)х + 7.

Вычтем из первого уравнения второе: х - ((-5/7)х + 7) = 0,

12х = 49, координаты точки пересечения АС и ВМ: ((49/12); (49/12)).

Теперь определим координаты проекции точки К на АВС.

Рассмотрим осевое диагональное сечение по ребру РС.

Из подобия (6/(7√2/2)) = 1/m

где m - проекция РК на плоскость АВС, а, точнее, на диагональ АС.

m = 1*(7√2/2)/(6*2) = 7√2/12.

Разложим m по осям: x(m) = y(m) = (7√2/12)*(√2/2) = 7/12.

Теперь можно определить координаты точки Ко:

х(Ко) = у(Ко) = (7/2) + (7/12) = 49/12.

Доказано: точка К лежит в плоскости, перпендикулярной АВС.

б) V(КВСМ) = (1/3)S(BCM)*h(KKo).

S(BCM) = (1/2)*7*5 = 35/2.

Высота пирамиды РРо = √(6² - (7√2/2)²) = √(36 - (98/4)) = √95/2.

Высоту h(KKo) находим из подобия:

h(KKo) = (5/6)PPo = (5/6)*(√95/2) = (5√95/12).

Ответ: V(КВСМ) = (1/3)*(35/2)*(5√95/12) = 175√95/72.