Предмет: Математика, автор: iopakovskaya

Решить задачу Коши
у''+4y'-5y=x*e^x, y(0)=0, y'(0)=0

Спасите, помогите

Ответы

Автор ответа: Miroslava227
2

Ответ:

1)y'' + 4y' - 5y = 0 \\ y =  {e}^{ kx}  \\  {e}^{kx} ( {k}^{2}  + 4k - 5) = 0 \\ D = 16 + 20 = 36 \\ k1 =  \frac{ - 4 + 6}{2} = 1 \\  k2 =  - 5 \\ y = C1 {e}^{x} +  C2 {e}^{ - 5x}

у =  {e}^{x} (Ax + B) \times x

Умножаем еще на х, так как один из корней (х=1) совпадает с коэффициентом у числа е в правой части.

у =  {e}^{x} (A {x}^{2}  + Bx)

у' =  {e}^{x} ( A{x}^{2}  + Bx) +  {e}^{x} (2Ax + B) =  \\  =  {e}^{x} ( A{x}^{2}  + Bx  + 2Ax + B)

у''=  {e}^{x} (A {x}^{2}  + Bx + 2Ax + B) +  {e}^{x} (2Ax + B + 2A) =  \\  =  {e}^{x} ( A{x}^{2}  + 4Ax + Bx + 2A + 2B)

подставляем в НЛДУ, сразу выносим е^х за скобку.

 {e}^{x} ( A{x}^{2}  + 4Ax + Bx + 2A + 2B + 4A {x}^{2}  + 4Bx + 8 Ax + 4B- 5A {x}^{2}  - 5Bx) = x {e}^{x}  \\  {e}^{x} (12Ax + 2A+ 6B) = x {e}^{x}  \\  \\ 12A = 1 \\ 2A+ 6B = 0 \\  \\ A =  \frac{1}{12 }  \\ B =  -  \frac{1}{3}  A=  -  \frac{1}{36}

у =  {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12}  -  \frac{x}{36} ) \\

y = C1 {e}^{x}  + C2 {e}^{ - 5x}  +  {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12}  -  \frac{x}{36} ) \\

- общее решение.

y(0) = 0,y'(0) = 0

y' = C1 {e}^{x}  - 5 C2 {e}^{ - 5x}  +  {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12}  -  \frac{x}{36} ) +  {e}^{x} ( \frac{x}{6}  -  \frac{1}{36} ) =  \\  = C1{e}^{x}  - 5C 2{e}^{x} +   {e}^{x} ( \frac{ {x}^{2} }{12}  +  \frac{x}{36}  -  \frac{1} {36} )

система:

0 = C1 + C2 + 0 \\ 0 = C1 -5 C2 -  \frac{1}{36}  \\  \\ C1 =  - C2 \\  - C2 - 5C2 =  \frac{1}{36}  \\  \\  - 6C2 =   \frac{1}{36}  \\ C2 =  -  \frac{1}{216}  \\  \\ C1 =  \frac{1}{216}

y =   \frac{ {e}^{x} }{216}  -  \frac{ {e}^{ - 5x} }{216}  +  {e}^{x}( \frac{ {x}^{2} }{12}   -  \frac{x}{36} ) \\

частное решение

Похожие вопросы
Предмет: География, автор: Suzanna112