Question

Доказать неравенство
$a^{4}-2a^{3}b+2a^{2}b^{2}-2ab^{3}+b^{4}\geq 0$

Answer 1

------------------------------

Answer 2

Объяснение:

$a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4=(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)+2a^3b-4a^2b^2+2a^b=(a-b)^4+2ab(a^2-2ab+b^2)=(a-b)^4+2ab(a-b)^2=(a-b)^2((a-b)^2+2ab)=(a-b)^2(a^2-2ab+b^2+2ab)=(a-b)^2(a^2+b^2)$

Заметим, что $x^2$ всегда неотрицательно. А произведение 2х неотрицательных чисел даёт неотрицательное число. Из этих утверждений следует доказательство неравенства.

$a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4=(a-b)^2(a^2+b^2) \geq 0$