Найдите количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63.
Ответы
Ответ:
Всего 551013 чисел
Пошаговое объяснение:
Всего шестизначных чисел (от 100000 до 999999):
999999 - 100000 + 1 = 900000
Уберем "лишние" числа (произведение цифр которых не делится на 63). Заметим, что такие числа не содержат в цифрах нулей!
1) Это все числа в которых отсутствует цифра 7. Таких чисел 8⁶ (в каждом из 6 разрядов может стоять любая из 8 цифр - 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9). Пусть A - множество таких чисел.
2) Числа, в которых нет 3; 6; 9. Таких чисел 6⁶ (в каждом из 6 разрядов может стоять любая из 6 цифр - 1; 2; 4; 5; 7; 8). Пусть B - множество таких чисел.
3) Числа, которые содержат 3 или 6 (но не 3 и 6), причем одну, и не содержат 9. Чисел, содержащих только одну 3 и не содержащих 6, будет столько же, сколько чисел, содержащих только одну 6 и не содержащих 3, а именно 6 · 6⁵ (сначала расставляем на любое из 6 мест 3 или 6, а затем на оставшиеся 5 мест 1; 2; 4; 5; 7; 8). Всего их будет 2 · 6 · 6⁵ = 2 · 6⁶. Пусть C - множество таких чисел.
Замечаем, что множествами A, B и C исчерпываются все числа, которые нам надо исключить.
Нам необходимо подсчитать количество элементов в объединении множеств A, B и C. То есть, согласно формуле включений и исключений:
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
Сразу замечаем, что n(B∩C) = 0 ⇒ n(A∩B∩C) = 0
n(A∩B) = 5⁶ (числа без цифр 3; 6; 7; 9)
n(A∩C) = 2 · 6 · 5⁵ (рассуждения как и при подсчете множества C, только ещё и без 7, поэтому не 6⁵, а 5⁵).
В итоге получаем:
n(A∪B∪C) = 8⁶ + 6⁶ + 2 · 6⁶ - 5⁶ - 2 · 6 · 5⁵ = 8⁶ + 3 · 6⁶ - 5⁶ - 12 · 5⁵ = 348987
В итоге получаем:
900000 - 348987 = 551013