записать уравнение плоскости 2x+y+z-2=0 (50 баллов)
задание на фото, извините за плохое качество
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) 2*x+y+z=2, x/1+y/2+z/2=1 - получено уравнение плоскости "в отрезках".
2) Полагая в уравнении плоскости y0=z0, находим x0=1. Значит, точка M0(1;0;0) принадлежит плоскости. Проведём теперь на плоскости через точку M0 два неколлинеарных вектора p1(a1;b1;c1) и p2(a2;b2;c2). Эти векторы, как лежащие в плоскости, перпендикулярны её нормальному вектору A(2;1;1), а потому A*p1=0 и A*p2=0 (A*p1 и A*p2 - скалярные произведения векторов). Но A*p1=2*a1+1*b1+1*c1, а A*p2=2*a2+1*b2+1*c2. Отсюда следует система уравнений:
2*a1+b1+c1=0
2*a2+b2+c2=0.
Полагая в первом уравнении, например, b1=1 и c1=3, находим a1=-2. Полагая во втором уравнении, например, b2=2 и c2=4, находим a2=-3. Значит, вектор p1 имеет координаты (-2;1;3), а вектор p2 - координаты (-3;2;4). И так как a2/a1≠b2/b1≠c2/c1, то векторы p1 и p2 неколлинеарны. Пусть теперь t1 и t2 - параметры, тогда параметрические уравнения плоскости имеют вид:
x=x0+a1*t1+a2*t2
y=y0+b1*t1=b2*t2
z=z0+c1*t1+c2*t2
Подставляя найденные значения, получаем:
x=1-2*t1-3*t2
y=t1+2*t2
z=3*t1+4*t2
3) В нашем случае D=-2<0. Поэтому разделим данное уравнение плоскости на +√(A²+B²+C²)=√(2²+1²+1²)=√6 (при D>0 пришлось бы делить на -√...). Получим нормальное уравнение плоскости: 2*x/√6+y/√6+z/√6-2/√6=0.
4) Нормальный вектор плоскости N=A*i+B*j+C*k, где i, j, k - орты (единичные векторы) координатных осей OX, OY, OZ. Нормальный единичный вектор a=N/√(A²+B²+C²)=A*i/√(A²+B²+C²)+B*j/√(A²+B²+C²)+C*k/√(A²+B²+C²)=2*i/√6+1*j/√6+1*k/√6.