Question

Пусть натуральные числа m и n удовлетворяют равенству
1/m + 1/n = 1/2021 .
Докажите, что m и n не могут иметь разную четность.​

Answer 1

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2021}$

$\frac{n}{nm} + \frac{m}{nm} = \frac{1}{2021}$

$\frac{n+m}{nm} = \frac{1}{2021}$

$2021\cdot (n+m) = mn$

$mn - 2021m - 2021n = 0$

$mn - 2021m - 2021n + 2021^2 = 2021^2$

$m\cdot (n - 2021) - 2021\cdot (n - 2021) = 2021^2$

$(n - 2021)\cdot (m - 2021) = 2021^2$

2021² - нечетное число, а значит, каждое из чисел

(n-2021) и (m - 2021)  -- нечетные. (В противном случае левая часть последнего равенства оказалось бы чётной.)

n - 2021 = 2p + 1;

m - 2021 = 2q + 1;

n = 2p + 1 + 2021 = 2p + 2022 = 2·(p+1011);

m = 2q + 1 + 2021 = 2q + 2022 = 2·(q + 1011);

отсюда видно, что m и n оба чётные.