Question

Найдите расстояние от центра правильного треугольника до его вершины, если его сторона равна 5√3

Answer 1

Ответ:

5

Объяснение:

• Центр правильного треугольника - точка пересечения его медиан, которые совпадают с биссектрисами и высотами, - точка О.

ΔАВН:  ∠АНВ = 90°,

$AH=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

По теореме Пифагора:

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}$

$BH=\sqrt{(5\sqrt{3})^2-{\left(\dfrac{5\sqrt{3}}{2}}\right)^2}}=$

$=\sqrt{75-\dfrac{75}{4}}=\sqrt{\dfrac{225}{4}}=\dfrac{15}{2}$

• Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 считая от вершины.

ВО : ОН = 2 : 1, значит

$BO=\dfrac{2}{3}BH=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{15}{2}=5$

Так как центр правильного треугольника является центром описанной окружности (и вписанной тоже), то расстояние от точки О до всех вершин одинаково и равно 5.

-----------------------------

Полезно запомнить формулы для правильного треугольника со стороной а:

высота:

$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

радиус описанной окружности:

$R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

радиус вписанной окружности:

$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$