Question

Методом логарифмического дифференцирования найти производную функции: y = (x/(x+1))³

Answer 1

Ответ:

$y=\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\\\\\\lny=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\\\\\\lny=x\cdot ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+x\cdot \dfrac{x+1}{x}\cdot \dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+x\cdot \dfrac{x+1}{x}\cdot \dfrac{1}{(x+1)^2}\\\\\\\dfrac{y'}{y}=ln\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)+\dfrac{1}{x+1}\\\\\\y'=y\cdot \Big(ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}\Big)$

$y'=\Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x}\cdot \Big(ln\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}\Big)$

Answer 2

$y=(\frac{x}{x+1})^x\\lny=x*ln(\frac{x}{x+1})\\\\\frac{y'}{y} =ln(\frac{x}{x+1})+x*\frac{x+1}{x}*\frac{x+1-x}{(x+1)^2}\\y'=(ln(\frac{x}{x+1})+\frac{1}{x+1})*(\frac{x}{x+1})^x$

Пошаговое объяснение: