Question

решить:
$(x + 1)^{4} = 2( {x}^{4} + 1)$
​

Answer 1

$(x+1)^4=2(x^4+1)$

Раскроем скобки:

$x^4+4x^3+6x^2+4x+1=2x^4+2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^4-4x^3-6x^2-4x+1=0$

Очевидно, что $x=0$ не корень уравнения. Разделим уравнение почленно на $x^2\neq 0$:

$x^2-4x-6-\dfrac{4}{x} +\dfrac{1}{x^2}=0$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-4\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-6 =0$

Замена:

$x+\dfrac{1}{x}=t$

Возведем левую и правую части равенства в квадрат:

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=t^2$

$x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=t^2$

$x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=t^2$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$

Подставим полученные соотношения в уравнения:

$t^2-2-4t-6 =0$

$t^2-4t-8 =0$

$D_1=(-2)^2-1\cdot(-8)=4+8=12$

$t=2\pm\sqrt{12}=2\pm2\sqrt{3}=2(1\pm\sqrt{3})$

Обратная замена дает совокупность двух уравнений:

$\left[\begin{array}{l} x+\dfrac{1}{x}=2(1+\sqrt{3}) \\ x+\dfrac{1}{x}=2(1-\sqrt{3}) \end{array}$

Решаем первое уравнение:

$x+\dfrac{1}{x}=2(1+\sqrt{3})$

Умножим почленно уравнение на х:

$x^2+1=2(1+\sqrt{3})x$

$x^2-2(1+\sqrt{3})x+1=0$

$D_1=(-(1+\sqrt{3}))^2-1\cdot1=1+3+2\sqrt{3} -1=3+2\sqrt{3}$

$x=1+\sqrt{3} \pm\sqrt{3+2\sqrt{3} }$

Решаем второе уравнение:

$x+\dfrac{1}{x}=2(1-\sqrt{3})$

$x^2+1=2(1-\sqrt{3})x$

$x^2-2(1-\sqrt{3})x+1=0$

$D_1=(-(1-\sqrt{3}))^2-1\cdot1=1+3-2\sqrt{3} -1=3-2\sqrt{3}$

Заметим, что полученный дискриминант меньше нуля. Действительно:

$3-2\sqrt{3} =\sqrt{9} -\sqrt{12} <0$

Значит, второе уравнение не имеет корней.

Ответ: $1+\sqrt{3} \pm\sqrt{3+2\sqrt{3} }$